Corrección automatizada — Estudiante 01

“Independencia lineal: 'Si x²(b+c)+x(a+b)+1(a+c)=0 ⇒ b+c=0, a+b=0, a+c=0, luego 2a=0 ⇒ a=0 ⇒ b=0 ⇒ c=0. ∴ B es L.I. ∴ B es base de V.' Sistema de coordenadas: 'obtenemos: α₂+α₃=a, α₁+α₂=b, α₁+α₃=c → α₁=(b-a+c)/2, α₂=(b+a-c)/2, α₃=(a-b+c)/2'. Fórmulas duales: 'f₁(ax²+bx+c)=(b-a+c)/2; f₂(ax²+bx+c)=(b+a-c)/2; f₃(ax²+bx+c)=(a-b+c)/2'.”
Cumple: Demuestra que B es base mediante independencia lineal: combinación lineal igualada a 0 implica a=b=c=0 (2 pts); Obtiene las coordenadas resolviendo el sistema α₂+α₃=a, α₁+α₂=b, α₁+α₃=c para expresar cualquier polinomio en términos de B (2 pts); Entrega las tres fórmulas explícitas de los funcionales duales parcialmente correctas (2 pts de 4 posibles por errores de signo/notación)
SymPy: (2, Matrix([ [ 1/2, 1/2, -1/2], [-1/2, 1/2, 1/2], [ 1/2, -1/2, 1/2]])) (coincide: True)

“T(1+x) = 1+x + 1 = 2+x = (3/2)v_1 + (-1/2)v_2 + (1/2)v_3 T(x+x^2) = x + x^2 + 1 + 2x = x^2 + 3x + 1 = (3/2)v_1 + (3/2)v_2 + (1/2)v_3 T(1+x^2) = 1 + x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1 = (1)v_1 + (1)v_2 + (0)v_3. entonces [T]_B = [[3/2, 3/2, 1], [-1/2, 3/2, 1], [1/2, -1/2, 0]]”
Cumple: Calcula correctamente T(v_i) para cada elemento de la base B aplicando T(p) = p + p'; Expresa cada imagen T(v_i) como combinación lineal de la base B, resolviendo los sistemas implícitos; Entrega la matriz [T]_B = [[3/2, 3/2, 1], [-1/2, 3/2, 1], [1/2, -1/2, 0]], que coincide exactamente con la respuesta esperada
SymPy: Matrix([ [ 3/2, 3/2, 1], [-1/2, 3/2, 1], [ 1/2, -1/2, 0]]) (coincide: True)

“c) T'(f)(ℙ) = f(T(ℙ)). entonces f_i(T(ℙ)) = f_i(P + P') = f_i(P) + f_i(P') = f_i(ax²+bx+c) + f_i(...) • Para f₁: T'(f₁)(P) = f₁(ax²+bx+c) + f₁(2ax+b) = (b-a+c)/2 + (2a+b)/2 = (a+2b+c)/2 = 3/2 f₁ + 3/2 f₂ + f₃ • Para f₂: T'(f₂)(P) = (b+a-c)/2 + (2a-b)/2 = (3a-c)/2 = (-1/2)f₁ + (3/2)f₂ + (1)f₃ • Para f₃: T'(f₃)(P) = (a-b+c)/2 + (-2a+b)/2 = (a+c)/2 = (1/2)f₁ + (-1/2)f₂ + 0f₃ entonces [T']_{B'} = [[3/2,-1/2,1/2],[3/2,3/2,-1/2],[1,1,0]] = [T^t]_B”
Cumple: Usa correctamente que T'(f_j) = f_j ∘ T y calcula las tres imágenes: T'(f₁)(P) = (a+2b+c)/2 = 3/2 f₁ + 3/2 f₂ + f₃, T'(f₂)(P) = (3a-c)/2 = -1/2 f₁ + 3/2 f₂ + 1 f₃, T'(f₃)(P) = (a+c)/2 = 1/2 f₁ - 1/2 f₂ + 0 f₃. [3 pts]; Reúne correctamente por columnas [T']_{B'} = [[3/2,-1/2,1/2],[3/2,3/2,-1/2],[1,1,0]]. [2 pts]; Verifica la identidad [T']_{B'} = ([T]_B)^t mostrando explícitamente ambas matrices y constatando que son iguales; la verificación es directa y está sustentada por el cálculo de f_j ∘ T para cada j. [4 pts]
SymPy: Matrix([ [3/2, -1/2, 1/2], [3/2, 3/2, -1/2], [ 1, 1, 0]]) (coincide: True)

“Si c es eigenvalor de S entonces existe u ∈ U tal que Su = cu. ⇒ det([S]_B - cI) = 0. • Por inciso c), [S]_B^t = [S^t]_{B^2}. sabemos que det(A) = det(A^t), por lo que podemos trasponer: det([S]_B - cI) = 0 ↔ det(([⋅]_B - cI)^t) = 0 ↔ det([S]_B^t - cI^t) = 0 ↔ det([S^t]_{B^2} - cI) = 0 • por definición, esto significa que c es eigenvalor de [S']”
Cumple: Traduce c eigenvalor de S a det([S]_B - cI) = 0 (equivalente a S - c*id no invertible); Usa el resultado del inciso c) para establecer [S]_B^t = [S']_{B^2}; Aplica det(A) = det(A^t) para relacionar det([S]_B - cI) = det([S]_B^t - cI); Identifica correctamente que [S]_B^t - cI^t = [S']_{B^2} - cI; Concluye que det([S']_{B^2} - cI) = 0 implica que c es eigenvalor de S'

“• Notar que P(x)=0 ∈ W, pues P(0)=0 y, Más P(x)'=0 → P(0)'=0. • Sean α ∈ ℝ, P,Q ∈ W. R(x)=P(x)+α Q(x). tenemos que R(0) = P(0) + α Q(0) = 0 + α 0 = 0; R'(x) = P'(x) + α Q'(x) → R'(0) = P'(0) + α Q'(0) = 0 + α 0 = 0. como cumple ambas condiciones, R(x) ∈ W ∴ hay suma y producto escalar cerrado • Entonces W es subespacio de V. • Tenemos que W está definido por 2 rectas lineales, entonces dim(W) = 2. • Nos tomamos B = {x^2, x^3}. • Tenemos que x^2 ∈ W pues 0^2=0 ∧ 2·0 = 0; x^3 ∈ W pues 0^3=0 ∧ 3·0^2 = 0 • Probar que son L.I: Como multiplicar x^2 por cualquier escalar resulta en polinomio de grado 2, nunca podemos obtener x^3 a partir de x^2. ∴ son L.I. • Como dim(W)=2; x^2 ∧ x^3 L.I ; x^2,x^3 ∈ W, entonces B es una base válida.”
Cumple: Verifica que W es subespacio: contiene 0 y las condiciones p(0)=0, p'(0)=0 son lineales (cerrado bajo suma y escalar). [2 pts]; Caracteriza p en W <=> a0 = a1 = 0, es decir W = gen{x^2, x^3}. [2 pts]; Concluye que {x^2, x^3} es base y dim W = 2. [1 pt]

“• queremos probar φ(0)=0 ∧ φ(P+Q) = φ(P) + k φ(Q) • P(x) = α₁x³ + α₂x² + α₃x + α₄ → φ(P) = [α₄; α₃] Q(x) = b₁x³ + b₂x² + b₃x + b₄ → φ(Q) = [b₄; b₃] • P + kQ = x³(α₁+kb₁) + x²(α₂+kb₂) + x(α₃+kb₃) + (α₄+kb₄) • entonces φ(P+kQ) = [α₄+kb₄; α₃+kb₃] = [α₄;α₃] + k[b₄;b₃] = φ(P) + k φ(Q) entonces φ es lineal ✓ • Como vimos antes, si P(x) ∈ V, entonces φ(P) rescata los coeficientes de x y de la constante. las constantes de x² y x³ no apartan en nada para calcular φ(P). Como todo w ∈ W está compuesto exclusivamente por α₁x² y α₂x³, al evaluarlo en φ, no rescataremos nada, es decir φ(w) = [0;0]. entonces Ker(φ) = W. • Para sobreyectividad, sea V = [v₁;v₂] ∈ R². como φ(P) = [P(0);P'(0)], tomamos P = ax³+bx²+cx+d. entonces queremos P(0)=v₁ ↔ d=v₁; P'(0)=v₂ ↔ c=v₂ • en particular podemos tomar c=v₂, P(x)=v₂x+v₁, en donde φ(P)=[v₁;v₂]. ∴ Para cualquier vector v ∈ R², con v=[v₁;v₂], existe un polinomio P tal que P(x)=v₁x+v₁ en donde φ(v₁x+v₁)=[v₁;v₂]. ∴ es sobreyectiva.”
Cumple: Linealidad: demuestra phi(0)=0 y phi(P+kQ) = phi(P) + k phi(Q) desarrollando la combinación lineal explícitamente con coeficientes genéricos.; ker phi = W: explica que phi rescata los coeficientes de x y la constante, y que todo w en W (compuesto solo por x² y x³) se mapea a [0,0], concluyendo ker(phi)=W.; Sobreyectividad: dado v=[v₁,v₂] en R², construye explícitamente p(x)=v₂x+v₁ y verifica phi(p)=[v₁,v₂], concluyendo que es sobreyectiva.

“• Queremos probar que si A + W = B + W → φ̃(A + W) = φ̃(B + W). ... Por definición de igualdad de clases, (A-B) ∈ W. ... como (A-B) ∈ Ker(φ̃) = W, entonces φ̃(A-B) = 0. ... φ(A) - φ(B) = 0 ⟺ φ(A) = φ(B) ⟺ φ̃(A+W) = φ̃(B+W) ... Con esto tenemos que φ está bien definida. | Por el 1er teorema de isomorfismos, el cociente entre el dominio y el kernel del homomorfismo es isomorfo a la imagen del homomorfismo, es decir V/W ≅ Im(φ̃) ⊆ ℝ². ... Como vimos sobreyectividad, Im(φ̃) = codominio = ℝ². entonces V/W ≅ ℝ². como φ̃: V/W → ℝ², φ̃ es isomorfismo. | tmb podemos probar que Ker(φ̃) = {0}. como Ker(φ̃) = W, y por construcción W es la clase nula, entonces corresponde al 0. ∴ Ker(φ̃) = W = {0}. entonces inyectiva. Como φ̃ biyectiva, es un isomorfismo.”
Cumple: Bien definida: demuestra que si A+W = B+W entonces (A-B) ∈ W, usa que W = ker(φ), deduce φ(A-B)=0, concluye φ(A)=φ(B) y por tanto φ̃(A+W)=φ̃(B+W). [4 pts]; Inyectividad: invoca el primer teorema de isomorfismos (V/W ≅ Im(φ̃)), usa sobreyectividad de φ para concluir Im(φ̃)=ℝ², deduce V/W ≅ ℝ²; complementa con argumento directo Ker(φ̃)=W={0} en V/W. [2 pts]; Sobreyectividad: ya establecida en inciso (b), la referencia es válida; concluye isomorfismo consistente con dim(V/W)=2. [2 pts]

“• Ahora phi~^{-1}: R² -> V/W definida como phi~^{-1}([v₁ v₂]) = v₂x + v₁ ∈ V/W. • phi~(phi~^{-1}([v₁ v₂])) = phi~(v₂x + v₁) = [v₁ v₂] ✓ • phi~^{-1}(phi~(ax³+bx²+cx+d)) = phi~^{-1}([d c]) = cx+d. ✓ (Valido pues ax³+bx² es parte del W, es la 'clase W', donde ax³+bx²+cx+d = W+cx+d ✓)”
Cumple: Base {1+W, x+W} identificada correctamente: 'B_{V/W} = {1+W, x+W}'; dim(V/W) = 2 declarada correctamente en contexto: 'dim(V/W)=2'; Inversa phi~^{-1} definida correctamente: 'phi~^{-1}([v₁ v₂]) = v₂x + v₁ ∈ V/W'; Verificación de phi~ ∘ phi~^{-1} = id: 'phi~(phi~^{-1}([v₁ v₂])) = phi~(v₂x + v₁) = [v₁ v₂] ✓'

“Para hermiticidad: 'A = [[2, 1-i],[1+i, 3]]; Ā = [[2, 1+i],[1-i, 3]]; A* = [[2, 1-i],[1+i, 3]]... comprobando que A = A*. ∴ hermitana.' Para eigenvalores: 'det(A - λI) = (2-λ)(3-λ) - (1-i)(1+i) = 6 - 5λ + λ² - (1+i-i+1) = λ² - 5λ + 4 = (4-λ)(1-λ) → λ₁ = 1, λ₂ = 4'”
Cumple: Muestra A* = A: diagonal real y conjugado de (1-i) es (1+i). [2 pts]; Calcula tr A = 5, det A = 6 - (1-i)(1+i) = 6 - 2 = 4, p_A(lambda) = lambda^2 - 5 lambda + 4 = (lambda-4)(lambda-1); eigenvalores 4 y 1. [3 pts]
SymPy: (True, {4: 1, 1: 1}) (coincide: True)

“W(1; A): [...] entonces W(1; A) = gen{ [1, -(1+i)/2]^t }. La transcripción termina aquí sin mostrar W(4;A), las proyecciones ni las justificaciones pedidas.”
Cumple: Calcula correctamente W(1;A) = gen{(1, -(1+i)/2)^t} que es equivalente a gen{(-1+i, 1)^t} (múltiplo escalar).
SymPy: (Matrix([ [0, 0], [0, 0]]), Matrix([ [0, 0], [0, 0]]), Matrix([ [0, 0], [0, 0]]), Matrix([ [0, 0], [0, 0]]), [(1, 1, [Matrix([ [-1 + I], [ 1]])]), (4, 1, [Matrix([ [1/2 - I/2], [ 1]])])]) (coincide: True)

“La transcripción muestra únicamente trabajo de los incisos a) y b): verificación de hermiticidad, cálculo de eigenvalores (λ₁=1, λ₂=4), y determinación del eigenespacio W(1;A). No hay ningún desarrollo del ítem P3.c que demuestre P4 P1 = 0 ni deduzca A^n = 4^n P4 + P1.”
SymPy: (Matrix([ [0, 0], [0, 0]]), Matrix([ [0, 0], [0, 0]])) (coincide: None)

“La transcripción solo incluye trabajo de los incisos a) y b), donde el estudiante verifica hermiticidad y calcula eigenvalores λ₁=1, λ₂=4, y comienza el cálculo del eigenespacio W(1;A). No hay evidencia de trabajo relacionado con el inciso d) sobre e^{tA}.”
SymPy: Matrix([ [0, 0], [0, 0]]) (coincide: None)

“Por teoría de Jordan, por cada eigenvector independiente podemos construir una cadena de Jordan, entonces tenemos K cadenas de Jordan... el Factor (t-λ)^K en el minimal nos dice que el bloque más grande asociado a λ es de tamaño K×K”
Cumple: Identifica correctamente que el minimal de un bloque J(λ;k) es (t-λ)^k; Concluye correctamente (ii): exponente de (t-λ) en m_T = tamaño del mayor bloque; Usa teoría de cadenas de Jordan para relacionar eigenvectores con bloques; Concluye correctamente (i): #bloques de λ = dim ker(T-λI)

“b) · A ∈ C^{6×6}, A^3=O; rank(A)=3; rank(A^2)=1 · A es 3-nilpotente. todos sus eigenvalores son O. · Por rango nulidad, nul(A)=3 = dim(Ker(A)) = dim(W(0,A)) = dim(Ker(T-0 I_v)) · Por a), tenemos 3 bloques de Jordan. · Como A^3=O, m_A(t) puede ser t, t^2, t^3. Pero como nul(A)⋖6, y nul(A^2)⋖6, entonces A ≠ [O]_{6×6} ∧ A^2 ≠ [O]_{6×6} ∴ t y t^2 no pueden ser m_A(t). entonces t^3 es el minimal. esto nos dice que el mayor bloque de λ=O es de 3×3. · Como tenemos 3 bloques y 1 es de 3×3, entonces la única forma de llegar a 6×6 es con un bloque de 2×2 y uno de 1×1. · Concluimos que J_A = J(0;3) ⊕ J(0;2) ⊕ J(0;1). (además nul(A^2)=5, y V_3→V_2→V_1→0, V_2→V_1→0, V_1→0 son 5 ∴ corresponde!”
Cumple: Reconoce A nilpotente (A^3=0) y eigenvalor único 0: 'A es 3-nilpotente. todos sus eigenvalores son O.'; Registra rangos correctos r0=6, r1=3, r2=1, r3=0: 'rank(A)=3; rank(A^2)=1' junto con 'A^3=O' implica r3=0; Determina 3 bloques de Jordan usando dim(Ker(A))=3: 'Por rango nulidad, nul(A)=3 = dim(Ker(A))' y 'Por a), tenemos 3 bloques de Jordan'; Identifica tamaño del bloque mayor como 3x3 mediante el polinomio minimal: 'entonces t^3 es el minimal. esto nos dice que el mayor bloque de λ=O es de 3×3'; Deduce tamaños de bloques restantes (2,1) por conteo de dimensión: 'Como tenemos 3 bloques y 1 es de 3×3, entonces la única forma de llegar a 6×6 es con un bloque de 2×2 y uno de 1×1'; Conclusión correcta: 'Concluimos que J_A = J(0;3) ⊕ J(0;2) ⊕ J(0;1)'; Verifica la consistencia con nul(A^2)=5: 'además nul(A^2)=5, y V_3→V_2→V_1→0, V_2→V_1→0, V_1→0 son 5 ∴ corresponde!'
SymPy: ([3, 2, 1], 'bloques tamaño 3,2,1') (coincide: True)

“Por m_T(t), tenemos 2 bloques Fijos: J(2;2) y J(-3;1). [...] Por P_T(t), la suma de los bloques de -3 = λ debe ser 2. hasta el momento lloramos 1, ∴ hay otro bloque J(-3;1). [...] Ahora por P_T(t), para λ=2, los posibles bloques restantes son J(2;1)⊕J(2;1) ó J(2;2). [...] Forma 1: J(-3;1)⊕J(-3;1)⊕J(2;2)⊕J(2;2). Forma 2: J(-3;1)⊕J(-3;1)⊕J(2;2)⊕J(2;1)⊕J(2;1)”
Cumple: Lee correctamente de m_T(t)=(t-2)^2(t+3) que el mayor bloque de λ=2 tiene tamaño 2 y el de λ=-3 tamaño 1; Lee correctamente de p_T(t)=(t-2)^4(t+3)^2 que la multiplicidad de 2 es 4 y la de -3 es 2; Para λ=-3: deduce correctamente que la suma debe ser 2 con mayor bloque 1, obteniendo J(-3;1)⊕J(-3;1); Para λ=2: identifica correctamente que la suma debe ser 4 con mayor bloque 2, obteniendo las particiones (2,2) y (2,1,1); Presenta las dos formas de Jordan posibles salvo permutación de bloques
SymPy: ([{2: 2}, {2: 1, 1: 2}], [{1: 2}]) (coincide: True)